Esercizio 1 — Coefficiente di portanza in crociera (Cessna 172)¶
🟢 Difficoltà: BASE — Applicazione diretta della formula della portanza.
🎯 Obiettivi didattici: imparare a (a) impostare l'equilibrio in volo livellato, (b) ricavare \(C_p\) dalla formula della portanza, (c) verificare la plausibilità del risultato.
📋 Testo del problema¶
Un Cessna 172 Skyhawk vola in crociera livellata al livello del mare in atmosfera standard. I dati del velivolo e della crociera sono:
- Massa totale: \(m = 1\,043\) kg (peso al decollo MTOW)
- Superficie alare: \(S = 16{,}2\) m²
- Velocità di crociera: \(V = 122\) kt (nodi)
Determinare il coefficiente di portanza \(C_p\) richiesto per mantenere il volo livellato.
🖼️ Diagramma del problema¶
Il velivolo è in equilibrio sotto quattro forze: portanza \(P\) (verso l'alto, in rosso), peso \(Q\) (verso il basso, in verde), spinta \(T\) (in avanti, in arancione), resistenza \(R\) (all'indietro, in viola). In volo livellato a velocità costante, queste forze si bilanciano a coppie.
📊 Dati noti / da trovare¶
| Grandezza | Simbolo | Valore | Unità |
|---|---|---|---|
| Massa | \(m\) | 1 043 | kg |
| Superficie alare | \(S\) | 16,2 | m² |
| Velocità | \(V\) | 122 | kt |
| Densità aria (livello del mare ISA) | \(\rho\) | 1,225 | kg/m³ |
| Accelerazione di gravità | \(g\) | 9,81 | m/s² |
| Da trovare | \(C_p\) | ? | adimensionale |
🧠 Strategia di risoluzione¶
Prima di scrivere una formula, ragiona così:
- Cosa mi sta chiedendo? Il coefficiente di portanza \(C_p\) in una specifica condizione di volo.
- Quale fenomeno è coinvolto? La portanza in volo livellato. La portanza deve uguagliare il peso.
- Quali formule mi servono?
- Equilibrio verticale: \(P = Q = m \cdot g\)
-
Definizione di portanza: \(P = \frac{1}{2}\rho V^2 S C_p\)
-
Dati e unità sono coerenti? Quasi: la velocità è in nodi, devo convertirla in m/s prima di sostituirla.
- Algebra: combino le due equazioni, isolo \(C_p\), sostituisco i numeri.
✏️ Risoluzione passo-passo¶
Passo 1 — Convertire la velocità in m/s¶
💡 Memo: 1 nodo ≈ 0,5144 m/s. Per stime al volo: 1 kt ≈ ½ m/s.
Passo 2 — Calcolare il peso del velivolo¶
Passo 3 — Imporre l'equilibrio verticale¶
In volo livellato a velocità costante: \(\(P = Q = 10\,231{,}83 \text{ N}\)\)
Passo 4 — Isolare \(C_p\) dalla formula della portanza¶
Partendo da \(P = \frac{1}{2}\rho V^2 S C_p\), isolo \(C_p\):
Passo 5 — Sostituire i valori numerici¶
Calcolo a tappe per evitare errori:
- Numeratore: \(2 \times 10\,231{,}83 = 20\,463{,}66\)
- \((62{,}76)^2 = 3\,938{,}82\)
- Denominatore: \(1{,}225 \times 3\,938{,}82 \times 16{,}2\)
- \(1{,}225 \times 3\,938{,}82 = 4\,825{,}05\)
-
\(4\,825{,}05 \times 16{,}2 = 78\,165{,}81\)
-
Quindi: \(C_p = 20\,463{,}66 / 78\,165{,}81 = 0{,}2618\)
Passo 6 — Risultato¶
✅ Verifica di plausibilità¶
Il valore ha senso? Confrontiamo con quanto dice il formulario:
Crociera, velivolo GA: \(C_p\) tipico = 0,2 – 0,4
Il nostro \(C_p \approx 0{,}26\) rientra perfettamente in questo intervallo, posizionandosi sul lato basso — coerente con una velocità di crociera relativamente alta (122 kt è la crociera standard del Cessna 172).
Lettura fisica: l'ala lavora "tranquilla", lontana dallo stallo (che avverrebbe intorno a \(C_{p,max} \approx 1{,}5\)). C'è ampio margine per manovre e per rallentare in atterraggio. ✈️
🔄 Variante per autovalutazione¶
Stesso Cessna, stesso peso, stessa superficie. Ma ora vola a 140 kt invece di 122 kt. Calcola il nuovo \(C_p\) richiesto.
👉 Solo il risultato (prima provaci da solo!)
\(V = 140 \times 0{,}5144 = 72{,}02\) m/s \(C_p \approx 0{,}199 \approx 0{,}20\)
Più velocità ⇒ meno \(C_p\) serve per generare lo stesso peso. Conferma: a velocità maggiori, l'ala "lavora meno". Per i dettagli del calcolo, vedi
soluzioni/01-soluzione.md.
🎓 Cosa hai imparato¶
- In volo livellato, portanza = peso, sempre.
- Il coefficiente di portanza non è una proprietà fissa del velivolo: dipende dalle condizioni di volo (velocità, peso, densità).
- A parità di velivolo: più veloce → \(C_p\) minore, perché la portanza cresce con \(V^2\) e basta meno "aiuto" dall'angolo di attacco.
- Il controllo delle unità è metà del lavoro: 122 kt sostituiti come "122" dentro la formula avrebbero dato un \(C_p\) assurdo (~70).