Esercizio 2 — Velocità di stallo (Piper PA-28 Archer)¶

🟢 Difficoltà: BASE — Applicazione diretta della formula della velocità di stallo.

🎯 Obiettivi didattici: imparare a (a) calcolare \(V_S\) a partire da \(C_{p,max}\), (b) capire l'effetto dei flap sulla velocità di stallo, (c) verificare la coerenza con i dati del manuale di volo.

📋 Testo del problema¶

Un Piper PA-28-181 Archer vola in atmosfera standard al livello del mare. I suoi dati di progetto sono:

Massa massima al decollo (MTOW): \(m = 1\,157\) kg
Superficie alare: \(S = 15{,}8\) m²
Coefficiente di portanza massimo, ala pulita (senza flap): \(C_{p,max} = 1{,}5\)
Coefficiente di portanza massimo, flap pieni (40°): \(C_{L,max,flap} = 2{,}1\)

Determina:

La velocità di stallo \(V_S\) con ala pulita
La velocità di stallo \(V_{S,0}\) con flap pieni
La percentuale di riduzione di \(V_S\) ottenuta estraendo i flap

🖼️ Diagramma del problema¶

Curva CL-alpha con angolo di stallo critico evidenziato

Allo stallo (~16° per profili tipici), il flusso si stacca dal dorso e \(C_p\) crolla bruscamente. La portanza non basta più a sostenere il peso → l'aereo scende. La velocità di stallo \(V_S\) è la velocità più bassa a cui il velivolo può ancora generare \(P = Q\) a \(C_{p,max}\).

📊 Dati noti / da trovare¶

Grandezza	Simbolo	Valore	Unità
Massa	\(m\)	1 157	kg
Superficie alare	\(S\)	15,8	m²
\(C_{p,max}\) ala pulita	\(C_{p,max}\)	1,5	adim.
\(C_{p,max}\) flap pieni	\(C_{L,max,flap}\)	2,1	adim.
Densità aria (livello mare ISA)	\(\rho\)	1,225	kg/m³
Accelerazione gravità	\(g\)	9,81	m/s²
Da trovare	\(V_S\), \(V_{S,0}\)	?	m/s e kt

🧠 Strategia di risoluzione¶

Cosa mi sta chiedendo? Due velocità di stallo (con e senza flap), e il rapporto tra le due.
Quale fenomeno è coinvolto? Lo stallo: il punto in cui l'ala genera la massima portanza possibile, oltre il quale crolla. Per restare in volo livellato a \(C_{p,max}\), occorre che \(L_{max} = W\).
Quali formule mi servono?
Equilibrio verticale: \(P = Q\)
Portanza: \(P = \frac{1}{2}\rho V^2 S C_p\)
Allo stallo: \(L_{max} = \frac{1}{2}\rho V_S^2 S C_{p,max}\)
Da cui: \(V_S = \sqrt{\dfrac{2 W}{\rho S C_{p,max}}}\)
Dati e unità sono coerenti? Sì, tutti SI. Il risultato sarà in m/s; converto in nodi alla fine.
Algebra: stessa formula due volte, con \(C_{p,max}\) diverso. Confronto i risultati.

✏️ Risoluzione passo-passo¶

Passo 1 — Calcolare il peso del velivolo¶

\[Q = m \cdot g = 1\,157 \times 9{,}81 = 11\,350{,}17 \text{ N}\]

Passo 2 — Velocità di stallo con ala pulita¶

Applicando la formula: \(\(V_S = \sqrt{\dfrac{2 W}{\rho S C_{p,max}}}\)\)

Sostituisco: \(\(V_S = \sqrt{\dfrac{2 \times 11\,350{,}17}{1{,}225 \times 15{,}8 \times 1{,}5}}\)\)

Calcolo a tappe:

Numeratore: \(2 \times 11\,350{,}17 = 22\,700{,}34\)
Denominatore: \(1{,}225 \times 15{,}8 \times 1{,}5 = 1{,}225 \times 23{,}7 = 29{,}03\)
Rapporto: \(22\,700{,}34 / 29{,}03 = 781{,}96\)
Radice: \(\sqrt{781{,}96} = 27{,}96\) m/s

\[\boxed{V_S \approx 28{,}0 \text{ m/s} = 54{,}4 \text{ kt}}\]

Passo 3 — Velocità di stallo con flap pieni¶

Stessa formula, ma con \(C_{p,max} = 2{,}1\): \(\(V_{S,0} = \sqrt{\dfrac{2 \times 11\,350{,}17}{1{,}225 \times 15{,}8 \times 2{,}1}}\)\)

Calcolo:

Denominatore: \(1{,}225 \times 15{,}8 \times 2{,}1 = 40{,}64\)
Rapporto: \(22\,700{,}34 / 40{,}64 = 558{,}54\)
Radice: \(\sqrt{558{,}54} = 23{,}63\) m/s

\[\boxed{V_{S,0} \approx 23{,}6 \text{ m/s} = 45{,}9 \text{ kt}}\]

Passo 4 — Riduzione percentuale di \(V_S\) con flap¶

\[\text{Riduzione} = \dfrac{V_S - V_{S,0}}{V_S} \times 100 = \dfrac{28{,}0 - 23{,}6}{28{,}0} \times 100\]

\[\text{Riduzione} = \dfrac{4{,}4}{28{,}0} \times 100 \approx 15{,}7\%\]

I flap fanno scendere \(V_S\) del ~16%.

💡 Trucco rapido: \(V_S \propto 1/\sqrt{C_{p,max}}\), quindi il rapporto è \(\sqrt{1{,}5/2{,}1} = \sqrt{0{,}714} = 0{,}845\). Coerente.

✅ Verifica di plausibilità¶

Il manuale POH (Pilot's Operating Handbook) del Piper PA-28-181 Archer dichiara:

	Manuale	Calcolato
\(V_S\) pulita	53 kt	54 kt ✅
\(V_S\) flap pieni	47 kt	46 kt ✅

Differenza < 2% → modello eccellente. La piccola differenza è dovuta a:

\(C_{p,max}\) effettivo dipende da Reynolds e finitura superficiale
Il manuale considera condizioni reali (non ISA pura)

Il risultato è coerente con la realtà operativa del velivolo.

🔄 Variante per autovalutazione¶

Stesso Piper PA-28, stessa configurazione (ala pulita), ma in volo a 2000 m di quota ISA (anziché al livello mare). Ricalcola \(V_S\).

Suggerimento: a 2000 m, \(\rho = 1{,}007\) kg/m³ (formulario, sezione 7).

👉 Solo il risultato (prima provaci da solo!)

\(V_S(2000\,m) = \sqrt{\dfrac{2 \times 11350}{1{,}007 \times 15{,}8 \times 1{,}5}} = \sqrt{\dfrac{22700}{23{,}87}} = \sqrt{951{,}1} \approx 30{,}8\) m/s ≈ 59,9 kt.

Aumento del 10% rispetto al livello mare: \(V_S\) in quota è maggiore perché \(\rho\) è minore. È una delle ragioni per cui i decolli/atterraggi in alta quota richiedono piste più lunghe.

🎓 Cosa hai imparato¶

La velocità di stallo dipende da \(W\), \(\rho\), \(S\), \(C_{p,max}\) — tutti e quattro.
I flap servono a ridurre \(V_S\) per atterrare in sicurezza: aumentano \(C_{p,max}\) → \(V_S\) scende come \(1/\sqrt{C_{p,max}}\).
A parità di velivolo e configurazione, \(V_S\) aumenta in quota perché \(\rho\) scende.
Il calcolo da formulario coincide entro il 2% con il dato del manuale di volo → fidati delle formule che hai imparato.

➡️ Prossimo¶

Esercizio 3 — Resistenza in crociera (ATR 72) — applica la formula della resistenza a un velivolo regionale.