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Lezione 4 — Efficienza aerodinamica e polare

Obiettivo: alla fine di questa lezione sai cos'è \(E = C_p/C_R\), perché esiste un valore massimo \(E_{max}\), come leggere la polare di un velivolo, e come calcolare la distanza in planata di un aliante.

🎯 In una riga

L'efficienza aerodinamica \(E\) è il rapporto tra portanza e resistenza: misura quanti newton di portanza ottieni per ogni newton di resistenza pagato. Più alta è \(E\), più il velivolo "vola economico".

\[E = \frac{L}{D} = \frac{C_p}{C_R}\]

✈️ A cosa serve davvero

L'efficienza è il parametro singolo più importante del progetto aeronautico. Da sola ti dice:

  • Quanti chilometri puoi percorrere con un litro di carburante (autonomia)
  • Quanto in alto puoi salire (tangenza pratica)
  • A che velocità ti conviene volare per consumare meno
  • In planata (motore spento), quanto sei lontano dall'aeroporto quando perdi 1000 m di quota

💡 Numero da ricordare: efficienza tipica di un Cessna 172 ≈ 10. Significa che in planata, da 1000 m di quota, puoi percorrere 10 km prima di toccare terra. Per un aliante moderno (\(E \approx 40\)), 40 km.

📐 La formula della planata — cuore di tutto

In planata stabilizzata (motore spento, discesa a velocità costante), il velivolo si muove lungo una traiettoria inclinata di un angolo \(\gamma\) (gamma) rispetto all'orizzontale. Le forze in gioco sono solo tre: portanza, resistenza, peso.

Planata stabilizzata: distanza al suolo = E × quota persa

La matematica del liceo arriva a questa relazione:

\[\tan(\gamma) = \frac{1}{E}\]

→ se \(E\) è grande, \(\gamma\) è piccolo, planata "lunga".

E direttamente:

\[\boxed{\text{distanza orizzontale} = E \times \text{quota persa}}\]
Velivolo \(E_{max}\) Distanza in planata da 1000 m
Cessna 172 ~10 10 km
Boeing 737 (motori spenti) ~17 17 km
ATR 72 ~14 14 km
Aliante ASK-21 ~33 33 km
Aliante moderno (DG-1000, ASG-29) 50–60 50–60 km
Albatros (uccello — sì, è meglio dell'ASK-21) ~25 25 km

📊 La polare di velivolo — l'identikit aerodinamico

La polare è il grafico \(C_p\) vs \(C_R\). Ogni punto rappresenta una specifica condizione di volo (quindi specifica \(\alpha\), velocità, etc.).

Polare con tangente per E_max e punti notevoli

Lettura: la tangente alla polare passante per l'origine (retta tratteggiata rossa) tocca la curva nel punto di massima efficienza \(E_{max}\). È il punto da cui la pendenza \(C_p/C_R\) è massima.

💡 Trucco grafico: per trovare \(E_{max}\) su una polare, traccia una retta dall'origine e ruotala verso la curva. Quando "tocca" la curva (tangenza), quello è il punto di efficienza massima. Il \(C_p\) corrispondente si chiama \(C_p^*\).

🔢 Calcolo di \(E_{max}\) — formula del liceo

Dalla lezione precedente, \(C_R = C_{R,0} + \dfrac{C_p^2}{\pi \lambda e}\). L'efficienza è \(E = C_p/C_R\). Massimizzare \(E\) rispetto a \(C_p\) porta a:

\[C_p^* = \sqrt{\pi \lambda e \cdot C_{R,0}}\]
\[\boxed{E_{max} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi \lambda e}{C_{R,0}}}}\]

A questo punto resistenza parassita = resistenza indotta (entrambe valgono \(C_{R,0}\)). Il \(C_R\) totale è \(2 \, C_{R,0}\).

⚠️ Niente derivate per il liceo — ma la formula \(E_{max}\) è da tenere a mente, è di una semplicità impressionante: dipende solo da allungamento alare, fattore di Oswald, e resistenza parassita.

✈️ Calcoli su velivoli reali

Cessna 172

  • \(\lambda = 7{,}5\), \(e = 0{,}8\), \(C_{R,0} = 0{,}028\)
  • \(C_p^* = \sqrt{\pi \cdot 7{,}5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}028} = \sqrt{0{,}528} \approx 0{,}73\)
  • \(E_{max} = \frac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi \cdot 7{,}5 \cdot 0{,}8}{0{,}028}} = \frac{1}{2}\sqrt{673} \approx 12{,}96\)

→ massima efficienza ~13. Il manuale di volo del Cessna 172 dichiara \(E_{max}\) effettivo ~10 (la formula sovrastima perché trascura interferenze e attrito a bassa Re). Velocità di max efficienza ≈ 65 kt.

Aliante ASK-21

  • \(\lambda = 23\), \(e = 0{,}9\), \(C_{R,0} = 0{,}015\)
  • \(C_p^* = \sqrt{\pi \cdot 23 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}015} = \sqrt{0{,}975} \approx 0{,}99\)
  • \(E_{max} = \frac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi \cdot 23 \cdot 0{,}9}{0{,}015}} = \frac{1}{2}\sqrt{4335} \approx 33\)

→ efficienza massima ~33. Distanza in planata da 1000 m: 33 km. Velocità di max efficienza ≈ 50 kt.

Boeing 737 (in caso di doppia avaria motori — ipotesi rara ma analizzabile)

  • \(\lambda = 9\), \(e = 0{,}85\), \(C_{R,0} = 0{,}025\)
  • \(E_{max} \approx \frac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi \cdot 9 \cdot 0{,}85}{0{,}025}} = \frac{1}{2}\sqrt{961} \approx 15{,}5\)

→ a livello mare, dichiarato ~17 (il modello ideale sottostima questa volta). Da 10 000 m, 737 può planare ~170 km in caso di doppia avaria. Esempio reale: il Gimli Glider (Air Canada 143, 1983), un Boeing 767 rimasto senza carburante a 12 000 m, planò 100+ km e atterrò su una pista abbandonata.

📐 Velocità di massima efficienza (\(V^*\))

A \(C_p^*\) corrisponde una specifica velocità di volo:

\[V^* = \sqrt{\dfrac{2 W}{\rho S C_p^*}}\]

(stessa formula della \(V_S\) ma con \(C_p^*\) invece di \(C_{p,max}\)).

Per il Cessna 172 in crociera al livello mare: \(V^* = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 10\,232}{1{,}225 \cdot 16{,}2 \cdot 0{,}73}} \approx \sqrt{1\,413} \approx 37{,}6\) m/s ≈ 73 kt.

→ Il Cessna è "più economico" se vola a 73 kt, non a 122 kt (la velocità di crociera). La crociera nominale a 122 kt è scelta per arrivare prima, non per consumare meno. Se devi affrontare un volo di emergenza con poco carburante, riduci a 70-75 kt.

🎯 Box "Da ricordare per l'interrogazione"

  1. \(E = C_p/C_R = L/D\) — efficienza è un rapporto adimensionale, non una forza.
  2. In planata: distanza = \(E \times\) quota persa. È la formula più utile della lezione.
  3. Velocità di max efficienza ≠ velocità di crociera. Quasi sempre la prima è più bassa (~70 kt per Cessna, ~50 kt per aliante).
  4. \(E_{max} = \frac{1}{2}\sqrt{\pi \lambda e / C_{R,0}}\) — dipende SOLO da geometria alare (λ), distribuzione portanza (e), e parassita.
  5. A \(E_{max}\), parassita = indotta. Significa: minore parassita o maggiore allungamento → efficienza maggiore.
  6. Polari diverse = velivoli diversi: confronta i grafici per capire l'identità aerodinamica.

⚠️ Errori comuni

❌ Pensare che efficienza = velocità. Sono cose distinte. Un caccia ha \(E_{max} \approx 8\) ma \(V_{max} \approx 2000\) km/h; un aliante ha \(E_{max} \approx 50\) ma \(V_{max} \approx 250\) km/h. L'efficienza non c'entra con quanto vai veloce, ma con quanto sei economico.

❌ Calcolare la distanza di planata col \(V_{max}\). La formula dist = E × quota vale a \(E_{max}\) — quindi alla velocità \(V^*\), NON al \(V_{max}\). Se vai più veloce o più lento di \(V^*\), planari di meno.

❌ Dimenticare che \(E\) varia con la configurazione. Flap fuori = \(E\) crolla (5–6 invece di 10). Carrello fuori = \(E\) scende. La \(E_{max}\) è "ala pulita".

❌ Confondere \(E_{max}\) con efficienza in crociera. In crociera reale (alta velocità) il velivolo NON è a \(E_{max}\). Vola a un compromesso tra velocità e consumo.

❌ Pensare che il fattore di Oswald \(e\) sia sempre 1. Vale 1 solo per l'ala ideale ellittica (Spitfire). Per la maggior parte degli aerei è 0,7–0,9.

🧠 Domande di autoverifica

  1. Un aliante con \(E_{max} = 40\) vola a 1500 m sopra il punto di atterraggio. Senza vento e in aria calma, quanti km può percorrere prima di toccare terra?
  2. Un Cessna 172 ha \(E_{max} \approx 10\). In caso di avaria motore a 600 m sopra l'aeroporto, può raggiungere una pista a 7 km di distanza? E a 5 km?
  3. Tra due velivoli identici tranne l'allungamento alare (\(\lambda_A = 8\), \(\lambda_B = 16\)), quale ha efficienza massima più alta? Di che fattore, approssimativamente?
  4. Perché il pilota di Gimli Glider (B767 senza carburante) ha pianificato di volare a circa 220 kt, non alla velocità di crociera del 767 (~480 kt)?
  5. Per un Cessna 172 con \(C_p^* = 0{,}73\) in volo livellato al livello mare, calcola la velocità di massima efficienza in nodi.
👉 Risposte

  1. 60 km. Distanza = \(E \times\) quota = \(40 \times 1{,}5\) km = 60 km. (Se c'è vento contrario, di meno; se in coda, di più — la formula vale in aria calma.)

  2. A 7 km, no: il Cessna ha portata massima in planata da 600 m = \(10 \times 0{,}6 = 6\) km. A 5 km, sì, con margine. Da qui il consiglio dei manuali: in caso di motore in avaria, cerca subito la pista più vicina dentro un cerchio di raggio = quota × E. Conoscere \(E\) è una questione di vita o morte.

  3. B ha \(E_{max}\) maggiore, di un fattore \(\sqrt{\lambda_B/\lambda_A} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\). Raddoppi l'allungamento → efficienza × 1,41. È il motivo per cui gli alianti hanno \(\lambda\) enorme: è la leva più potente per aumentare \(E_{max}\) a parità di tutto il resto.

  4. Perché 480 kt è la velocità di crociera (alta), in cui parassita domina e \(E\) è inferiore al massimo. La velocità di massima efficienza del 767 è circa 220-240 kt (a peso medio). Volando a \(V^*\), il pilota ha massimizzato la distanza percorribile per ogni metro di quota persa — esattamente quello che serviva per arrivare a Gimli da 12 000 m senza propulsione.

  5. \(V^* = \sqrt{\dfrac{2Q}{\rho S C_p^*}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 10232}{1{,}225 \cdot 16{,}2 \cdot 0{,}73}} = \sqrt{1413} \approx 37{,}6\) m/s. Conversione: \(37{,}6 / 0{,}5144 \approx 73\) kt. Risposta: ~73 kt, ben sotto i 122 kt di crociera. Il manuale POH del Cessna 172 dichiara \(V_{best\,glide}\) = 68 kt (a peso medio), molto vicino al nostro calcolo.

➡️ Prossimo passo

Vai a Lezione 5 — Atmosfera Standard ISA per capire come la densità \(\rho\) (presente in tutte le formule fin qui) cambia con la quota.

Oppure prova Esercizio 4 — Efficienza massima (aliante ASK-21).