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Lezione 5 — Atmosfera Standard ISA

Obiettivo: alla fine di questa lezione sai cos'è l'atmosfera ISA, quali sono i valori al livello del mare, come T, p e ρ cambiano con la quota, e perché per ogni esercizio in quota DEVI usare la tabella ISA — mai \(\rho_0\).

🎯 In una riga

L'Atmosfera Standard Internazionale (ISA) è un modello matematico convenzionale dell'atmosfera, accordato a livello mondiale, che ti dà temperatura, pressione e densità a ogni quota. Serve perché l'atmosfera reale cambia ogni giorno: per progettare velivoli e fare esercizi standard ne serve una "ufficiale" e fissa.

✈️ A cosa serve davvero

Ogni formula che hai visto fin qui ha una \(\rho\) dentro:

  • \(P = \frac{1}{2}\rho V^2 S C_p\)
  • \(R = \frac{1}{2}\rho V^2 S C_R\)
  • \(V_S = \sqrt{2W/(\rho S C_{p,max})}\)
  • \(Re = \rho V c / \mu\)

Se \(\rho\) cambia, cambia tutto. E \(\rho\) cambia con la quota: a 10 000 m è circa un terzo del valore al livello mare. Questo significa che un velivolo:

  • A 10 000 m stalla a velocità maggiore di quella che stalla al suolo
  • Ha meno portanza a parità di velocità
  • Ha meno resistenza a parità di velocità (sì, c'è un lato positivo!)
  • Consuma meno carburante in crociera (parassita scende con \(\rho\))

Per questo motivo i jet di linea volano alti (8 000–12 000 m): risparmiano carburante. Ma per salire a quota ci vuole tempo e energia, quindi conviene solo per voli lunghi.

📐 I 4 valori da imparare a memoria — livello del mare ISA

Grandezza Simbolo Valore al livello mare ISA Note
Temperatura \(T_0\) 15 °C = 288,15 K Sempre in K nei calcoli
Pressione \(p_0\) 101 325 Pa ≈ 1013 hPa 1 atm standard
Densità \(\rho_0\) 1,225 kg/m³ Il valore più importante per noi
Accelerazione gravità \(g\) 9,81 m/s² Costante per la troposfera

⚠️ Conversione T: nei calcoli di gas (equazione di stato), la temperatura va sempre in kelvin. \(T(K) = T(°C) + 273{,}15\). Mai sostituire °C nelle formule.

🌡️ La struttura dell'atmosfera in altezza — quello che davvero ti serve

Atmosfera Standard ISA: variazione di T, p, ρ con la quota fino a 20 km

I tre grafici mostrano come temperatura, pressione e densità cambiano con la quota. La linea tratteggiata orizzontale a 11 km segna la tropopausa: sopra, la temperatura resta costante a −56,5 °C (stratosfera inferiore). Pressione e densità invece continuano a scendere esponenzialmente.

Per il liceo ti basta sapere due strati:

1. Troposfera (0 – 11 000 m)

  • È dove vola il 99% del traffico aereo civile
  • Temperatura diminuisce linearmente: \(T(h) = T_0 - 0{,}0065 \cdot h\) (h in metri, T in °C o K — la differenza è la stessa)
  • Il gradiente \(-6{,}5\,°\text{C}/1000\,\text{m}\) è da memorizzare

2. Tropopausa e stratosfera inferiore (11 000 – 20 000 m)

  • Temperatura costante a \(-56{,}5\,°\text{C} \approx 216{,}65\) K
  • Pressione e densità continuano a scendere (esponenzialmente)

🔢 Le formule del liceo per la troposfera

Temperatura

\(\(T(h) = T_0 - 0{,}0065 \cdot h\)\) con \(h\) in metri, \(T_0 = 288{,}15\) K (= 15 °C).

Densità — la formula che userai negli esercizi

\[\rho(h) = \rho_0 \cdot \left(\frac{T(h)}{T_0}\right)^{4{,}256}\]

L'esponente 4,256 deriva da \(g/(R \cdot \alpha) - 1\) dove \(\alpha = 0{,}0065\) K/m e \(R = 287\) J/(kg·K) per aria secca. Non serve dimostrarla — basta saperla applicare.

Densità relativa

\[\sigma = \frac{\rho(h)}{\rho_0}\]

→ a 5000 m, \(\sigma \approx 0{,}60\) (la densità è il 60% di quella al suolo).

💡 Trucco da liceo: per evitare il calcolo della formula esponenziale negli esercizi, usa direttamente la tabella ISA del formulario. La formula è lì in caso ti chiedano un valore intermedio.

📊 Tabella ISA — i valori che ti chiederanno

Ricopio i valori più usati negli esercizi (vedi formulario per la versione completa):

Quota \(h\) \(T\) (°C) \(p\) (Pa) \(\rho\) (kg/m³) \(\sigma\)
0 m (mare) 15,0 101 325 1,225 1,000
1 000 m 8,5 89 875 1,112 0,907
2 000 m 2,0 79 495 1,007 0,822
3 000 m −4,5 70 109 0,909 0,742
5 000 m −17,5 54 020 0,736 0,601
8 000 m −37,0 35 600 0,526 0,429
10 000 m −50,0 26 436 0,413 0,338
11 000 m (tropopausa) −56,5 22 632 0,365 0,297

Le quote in grassetto sono quelle ricorrenti negli esercizi — vale la pena memorizzare \(\rho\) per livello mare, 3000 m, 5000 m, 10 000 m.

✈️ Esempi concreti

Cessna 172 in crociera a 3000 m (10 000 ft)

  • \(\rho(3000) = 0{,}909\) kg/m³ (tabella)
  • \(T(3000) = -4{,}5\,°\text{C}\) → fa freschetto, anche d'estate

A parità di velocità e \(C_p\) del Cessna a livello mare, la portanza scende del fattore \(\sigma = 0{,}742\) → del 26%. Per recuperare, il pilota aumenta l'angolo di attacco (più \(C_p\)) o accelera.

Boeing 737 a FL350 (10 670 m)

  • \(\rho \approx 0{,}38\) kg/m³ (interpolato)
  • \(T \approx -54{,}3\,°\text{C}\) — fuori cabina è −54°C, dentro 22°C grazie al condizionamento

A questa quota, il 737 vola a Mach 0,78 = ~470 kt. Vola così alto perché:

  • Densità bassa → meno resistenza parassita → meno consumo
  • Sopra il maltempo (cumulonimbi non superano 12-15 km)
  • Aria ferma → meno turbolenza

Eurofighter ad alta quota (15 000 m, stratosfera)

  • \(\rho \approx 0{,}195\) kg/m³ (16% del livello mare)
  • \(T = -56{,}5\,°\text{C}\) (costante in stratosfera)

Per generare la stessa portanza del livello mare, deve volare a velocità ridotte di un fattore \(1/\sqrt{\sigma}\) maggiore — ecco perché i caccia ad alta quota volano supersonici, è quasi una necessità fisica.

🎯 Box "Da ricordare per l'interrogazione"

  1. ISA al livello mare: \(T_0 = 15\,°\text{C} = 288{,}15\) K, \(p_0 = 101\,325\) Pa, \(\rho_0 = 1{,}225\) kg/m³.
  2. Gradiente termico in troposfera: \(-6{,}5\,°\text{C}\) ogni 1000 m. Sopra 11 km, T costante a \(-56{,}5\,°\text{C}\).
  3. Densità in quota = sempre da tabella ISA, MAI \(\rho_0\). A 10 km, \(\rho \approx 0{,}41\) kg/m³ (un terzo).
  4. Densità relativa \(\sigma = \rho/\rho_0\). A 5 km è ~0,60. Usa \(\sigma\) per stime rapide.
  5. Conversione T: \(T(K) = T(°C) + 273{,}15\) — sempre in kelvin nelle formule di gas.
  6. I jet volano alti per risparmiare carburante (meno \(\rho\) → meno parassita).

⚠️ Errori comuni

❌ Usare \(\rho_0 = 1{,}225\) in quota. È l'errore numero uno quando si fanno esercizi su voli in alta quota. Sempre tabella ISA.

❌ Sostituire T in gradi Celsius nelle formule del gas. Per esempio nella formula \(\rho = p/(RT)\), se metti \(T = -50\) (in °C) ottieni una densità negativa o assurda. Sempre kelvin.

❌ Confondere quota geometrica e quota di pressione. La quota di pressione (usata in aviazione, "FL350") corrisponde alla quota dove l'atmosfera ISA avrebbe quella pressione. Se a Roma la pressione al suolo è 1020 hPa (alto), la quota di pressione locale al suolo è negativa! Per il liceo basta sapere che esiste questa differenza.

❌ Pensare che T scenda all'infinito con la quota. No: in stratosfera è costante (−56,5°C) e poi addirittura sale (per via dell'ozono che assorbe UV). Ma per gli esercizi si resta in troposfera nel 99% dei casi.

❌ Dimenticare che la pressione scende esponenzialmente (non linearmente come la T). A 5500 m la pressione è la metà di quella al mare. È una conseguenza dell'equilibrio idrostatico — Anderson la chiama "the most useful equation in atmospheric physics".

🧠 Domande di autoverifica

  1. Qual è la temperatura ISA a 4500 m di quota, in °C e in K?
  2. Un Cessna 172 vola a 5000 m con la stessa velocità che usava al mare. La sua portanza è il 100%, 60%, 40% o 30% di quella al livello mare (a parità di \(C_p\))?
  3. Perché un Boeing 737 a FL350 vola circa 80 kt più veloce della sua velocità di crociera al livello mare?
  4. La velocità di stallo \(V_S\) di un velivolo aumenta o diminuisce con la quota? Di quanto, percentualmente, a 5000 m?
  5. Calcola la pressione \(p\) a 11 000 m sapendo che \(p(0) = 101\,325\) Pa e che la formula barometrica per la troposfera è \(p(h) = p_0 \cdot (T(h)/T_0)^{5{,}256}\).
👉 Risposte

  1. \(T(4500) = 15 - 0{,}0065 \cdot 4500 = 15 - 29{,}25 = -14{,}25\,°\text{C}\). In kelvin: \(-14{,}25 + 273{,}15 = 258{,}9\) K.

  2. 60%. A 5000 m, \(\sigma = 0{,}601\). Portanza scende dello stesso fattore di \(\rho\), quindi è il 60% di quella al mare. Il pilota deve compensare alzando \(\alpha\) (più \(C_p\)) o accelerando.

  3. La portanza richiesta è la stessa (peso non cambia). Con \(\rho\) ridotta di un fattore \(\sigma \approx 0{,}30\) a FL350, per mantenere \(P = Q\) occorre velocità maggiore: \(V_{quota} = V_{mare}/\sqrt{\sigma}\). Il fattore \(1/\sqrt{0{,}30} \approx 1{,}83\) → la velocità "vera" deve essere ~83% maggiore. (In realtà i piloti lavorano in velocità indicata IAS, che si riferisce alla pressione dinamica \(\frac{1}{2}\rho V^2\) — la IAS resta uguale, è la true airspeed TAS che cresce.)

  4. Aumenta. \(V_S = \sqrt{2W/(\rho S C_{p,max})}\). Se \(\rho\) diminuisce, \(V_S\) aumenta. A 5000 m con \(\sigma = 0{,}601\): \(V_{S,5000} = V_{S,mare}/\sqrt{0{,}601} \approx 1{,}29 \cdot V_{S,mare}\). Quindi \(V_S\) a 5000 m è circa +29% rispetto al mare. Per questo i decolli/atterraggi in alta quota (aeroporti come La Paz, El Alto, 4000 m) richiedono piste lunghissime.

  5. \(T(11000) = 15 - 0{,}0065 \cdot 11000 = -56{,}5\,°\text{C} = 216{,}65\) K. \(T_0 = 288{,}15\) K. Rapporto \(T/T_0 = 0{,}7519\). \(p = 101325 \cdot 0{,}7519^{5{,}256}\). Calcoliamo \(0{,}7519^{5{,}256}\): \(\ln(0{,}7519) = -0{,}2851\); \(-0{,}2851 \cdot 5{,}256 = -1{,}498\); \(e^{-1{,}498} \approx 0{,}2236\). Quindi \(p \approx 101325 \cdot 0{,}2236 \approx 22\,650\) Pa. Confronta con tabella: 22 632 Pa ✅ (ottima approssimazione).

➡️ Prossimo passo

Vai a Lezione 6 — Numero di Reynolds per capire come viscosità, velocità e dimensioni determinano se un flusso è laminare o turbolento.

Oppure prova Esercizio 5 — Portanza in quota ISA (Boeing 737) — applica direttamente quanto imparato qui.