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Esercizio 9 — Decollo con flap (Airbus A320)

🔴 Difficoltà: AVANZATO — Combina effetto flap, velocità di stallo e velocità operative del decollo.

🎯 Obiettivi didattici: imparare a (a) calcolare \(V_S\) con flap di decollo, (b) ricavare le velocità \(V_R\) (rotation) e \(V_2\) (decollo sicuro) usando i fattori standard, (c) confrontare con la situazione in alta quota (aeroporti come La Paz).

📋 Testo del problema

Un Airbus A320-200 è in decollo al MTOW (peso massimo al decollo) di 78 000 kg con configurazione flap CONF 1+F (decollo). Aeroporto al livello del mare ISA.

Dati:

  • Massa: \(m = 78\,000\) kg
  • Superficie alare: \(S = 122{,}6\) m²
  • \(C_{p,max}\) ala pulita: 1,40
  • \(C_{p,max}\) con flap CONF 1+F: 2,00
  • \(V_R\) (rotazione) = \(1{,}1 \cdot V_S\)
  • \(V_2\) (velocità sicura decollo) = \(1{,}2 \cdot V_S\)

Determina:

  1. \(V_S\) in configurazione di decollo (flap CONF 1+F)
  2. \(V_R\) in nodi
  3. \(V_2\) in nodi
  4. Confronto: a 4 000 m di quota (es. aeroporto El Alto, La Paz, Bolivia), \(V_S\) e \(V_2\) aumentano di quanto?

🖼️ Diagramma del problema

Sequenza decollo: V_S → V_R → V_2

Tre velocità chiave del decollo, legate da fattori di sicurezza fissi: \(V_R = 1{,}1 \cdot V_S\) (rotazione, l'aereo solleva il muso), \(V_2 = 1{,}2 \cdot V_S\) (decollo sicuro a 35 ft = 11 m AGL — la velocità minima per proseguire in salita anche con un motore in avaria).

📊 Dati noti / da trovare

Grandezza Simbolo Valore Unità
Massa MTOW \(m\) 78 000 kg
Superficie alare \(S\) 122,6 m²
\(C_{p,max}\) pulito — 1,40 adim.
\(C_{p,max}\) flap T/O \(C_{p,max,TO}\) 2,00 adim.
\(\rho_0\) (mare ISA) \(\rho_0\) 1,225 kg/m³
\(\rho\) a 4000 m (ISA) \(\rho_{4000}\) 0,820 kg/m³
Da trovare \(V_S\), \(V_R\), \(V_2\) a mare e a 4000 m ? —

🧠 Strategia di risoluzione

  1. Cosa mi sta chiedendo? Velocità chiave del decollo a livello mare e in quota.
  2. Quale fenomeno? Stallo aerodinamico + scelta delle velocità operative con margini di sicurezza.
  3. Quali formule?
  4. \(V_S = \sqrt{2W/(\rho S C_{p,max})}\)
  5. \(V_R = 1{,}1 \cdot V_S\)
  6. \(V_2 = 1{,}2 \cdot V_S\)

  7. In quota: \(V_S(h) = V_S(0) \cdot \sqrt{\rho_0/\rho(h)}\)

  8. Dati e unità coerenti? Tutto SI; converto in nodi (\(\div 0{,}5144\)) alla fine.

  9. Algebra: catena di rapporti.

✏️ Risoluzione passo-passo

Passo 1 — Peso

\[Q = m \cdot g = 78\,000 \times 9{,}81 = 765\,180 \text{ N}\]

Passo 2 — \(V_S\) con flap di decollo, livello mare

\[V_S = \sqrt{\dfrac{2Q}{\rho_0 S C_{p,max,TO}}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 765\,180}{1{,}225 \times 122{,}6 \times 2{,}00}}\]

Calcolo:

  • Numeratore: \(2 \times 765\,180 = 1\,530\,360\)
  • Denominatore: \(1{,}225 \times 122{,}6 \times 2{,}00 = 300{,}37\)
  • Rapporto: \(1\,530\,360/300{,}37 = 5\,094\)
  • Radice: \(\sqrt{5\,094} = 71{,}4\) m/s
\[V_S = 71{,}4 \text{ m/s} = \dfrac{71{,}4}{0{,}5144} \approx 138{,}8 \text{ kt}\]
\[\boxed{V_S \approx 71 \text{ m/s} = 139 \text{ kt}}\]

Passo 3 — \(V_R\) e \(V_2\)

\[V_R = 1{,}1 \cdot V_S = 1{,}1 \times 71{,}4 = 78{,}5 \text{ m/s} \approx 153 \text{ kt}\]
\[V_2 = 1{,}2 \cdot V_S = 1{,}2 \times 71{,}4 = 85{,}7 \text{ m/s} \approx 167 \text{ kt}\]
Velocità m/s kt
\(V_S\) (stallo) 71,4 139
\(V_R\) (rotazione) 78,5 153
\(V_2\) (decollo sicuro) 85,7 167

✅ Manuale Airbus A320 a MTOW: \(V_R \approx 145\)–\(155\) kt, \(V_2 \approx 155\)–\(170\) kt secondo configurazione e peso. I nostri valori coincidono.

Passo 4 — Decollo a 4000 m (aeroporto El Alto, La Paz)

\(\rho\) a 4000 m: dalla tabella ISA, interpolando: \(\rho_{4000} \approx 0{,}820\) kg/m³.

\[V_S(4000) = V_S(0) \cdot \sqrt{\dfrac{\rho_0}{\rho_{4000}}} = 71{,}4 \cdot \sqrt{\dfrac{1{,}225}{0{,}820}} = 71{,}4 \cdot \sqrt{1{,}494}\]

Calcolo:

  • \(\sqrt{1{,}494} = 1{,}222\)
  • \(V_S(4000) = 71{,}4 \times 1{,}222 = 87{,}3\) m/s = 169,7 kt
\[V_R(4000) = 1{,}1 \cdot 87{,}3 = 96{,}0 \text{ m/s} = 187 \text{ kt}\]
\[V_2(4000) = 1{,}2 \cdot 87{,}3 = 104{,}8 \text{ m/s} = 204 \text{ kt}\]

Passo 5 — Confronto

Velocità Mare 4000 m Aumento %
\(V_S\) 139 kt 170 kt +22,3%
\(V_R\) 153 kt 187 kt +22,2%
\(V_2\) 167 kt 204 kt +22,2%

Tutte le velocità aumentano del ~22% in quota di 4000 m. È l'effetto della densità ridotta: \(V \propto 1/\sqrt{\rho}\).

✅ Verifica di plausibilità

A La Paz (4000 m), il \(V_2\) richiesto è 204 kt. Considerando che la pista deve permettere all'aereo di accelerare da 0 a 204 kt e poi staccare, la pista deve essere molto più lunga di una equivalente al livello mare:

  • Distanza decollo \(\propto V_2^2\) (energia cinetica) e \(\propto 1/\rho\) (motori meno efficaci) → fattore totale \(\sim 1{,}5\)
  • Pista a Bolzano (mare): MTOW A320 → 1900 m
  • Pista a La Paz (4000 m): MTOW A320 → ~3000 m

L'aeroporto El Alto ha una pista di 4000 m — non è un caso. Ed è uno dei pochi aeroporti dove l'A320 deve operare a peso ridotto (passeggeri pagano regolarmente bagagli extra).

💡 Operatori reali: Aeromar, BoA, LATAM operano A320 a La Paz con limitazioni di peso. Il fenomeno si chiama "hot and high" in gergo aeronautico.

🔄 Variante per autovalutazione

Stesso A320 ma con massa ridotta a 65 000 kg (volo a corto raggio, meno carburante e meno passeggeri). Calcola \(V_S\), \(V_R\), \(V_2\) a livello mare in configurazione decollo.

👉 Solo il risultato (prima provaci da solo!)
  • \(W = 65000 \times 9{,}81 = 637\,650\) N
  • \(V_S = \sqrt{2 \cdot 637650/(1{,}225 \cdot 122{,}6 \cdot 2)} = \sqrt{4243} = 65{,}1\) m/s = 126,6 kt
  • \(V_R = 1{,}1 \cdot 65{,}1 = 71{,}6\) m/s = 139 kt
  • \(V_2 = 1{,}2 \cdot 65{,}1 = 78{,}1\) m/s = 152 kt

Risultato: con peso ridotto del 17%, le velocità scendono dell'9% (perché \(V \propto \sqrt{W}\)). \(V_2\) passa da 167 kt a 152 kt → 15 kt in meno. Effetto cumulativo: la corsa di decollo si riduce di ~30% (energia cinetica = \(\frac{1}{2}mV^2\), scende sia con \(m\) che con \(V^2\)).

💡 Ecco perché gli aerei decollati con peso ridotto decollano molto prima sulla pista. Se vedi un A320 staccare a metà pista, sai che è leggero.

🎓 Cosa hai imparato

  • \(V_S\), \(V_R\), \(V_2\): tre velocità operative legate da fattori fissi (1, 1.1, 1.2). Conoscere la prima determina le altre.
  • Flap nel decollo: il "+0,6" in \(C_{p,max}\) (da 1,4 pulito a 2,0 con flap T/O) riduce \(V_S\) del 16%, riduce la corsa di decollo del 30%.
  • Effetto quota: tutte le velocità aerodinamiche aumentano in quota come \(1/\sqrt{\rho}\). A 4000 m, +22% rispetto al mare.
  • "Hot and high": un problema reale per aeroporti d'alta quota. Soluzione: piste lunghe + decolli con peso ridotto + motori più potenti.
  • I numeri dei manuali Airbus si possono ricostruire dal liceo entro l'1-2% di errore.

➡️ Prossimo

Esercizio 10 — Polare completa con punti notevoli — l'ultimo esercizio: costruire la polare di un velivolo punto per punto.