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Esercizio 10 — Polare completa con punti notevoli (Boeing 737-800)

🔴 Difficoltà: AVANZATO — Costruzione punto per punto della polare di un velivolo, identificazione dei punti notevoli (massima efficienza, crociera, stallo).

🎯 Obiettivi didattici: imparare a (a) costruire la curva \(C_R = f(C_p)\) punto per punto, (b) trovare \(C_p^*\) ed \(E_{max}\) analiticamente E graficamente, (c) identificare la posizione del punto di crociera reale e capire perché non coincide con \(E_{max}\).

📋 Testo del problema

Costruisci la polare di un Boeing 737-800 (al MLW per atterraggio = 65 000 kg). Dati:

  • Superficie alare: \(S = 124{,}6\) m²
  • Allungamento: \(\lambda = 10\)
  • \(C_{R,0} = 0{,}025\)
  • \(e = 0{,}85\)
  • \(C_{p,max}\) (pulito): 1,40

Procedi così:

  1. Calcola \(C_R\) per \(C_p\) = \(\{0{,}1;\, 0{,}2;\, 0{,}3;\, 0{,}4;\, 0{,}5;\, 0{,}6;\, 0{,}8;\, 1{,}0;\, 1{,}2;\, 1{,}4\}\).
  2. Trova analiticamente \(C_p^*\) ed \(E_{max}\) (formula della Lezione 4).
  3. Confronta il punto di max efficienza col punto di crociera reale del 737 (\(C_p \approx 0{,}5\)).
  4. Traccia la polare su un grafico e identifica i punti notevoli.

🖼️ La polare del velivolo

Polare del Boeing 737-800 con punti notevoli e tangente per E_max

I cerchi azzurri sono i 10 punti che calcoleremo nella tabella sotto. La retta tratteggiata rossa è la tangente all'origine: tocca la polare nel punto di massima efficienza (\(C_p^* \approx 0{,}82\)). La stella arancione è il punto operativo reale di crociera (M = 0,78), che vola con \(C_p \approx 0{,}5\) — sotto \(C_p^*\), sacrificando un po' di efficienza per andare più veloce.

📊 Dati noti / da trovare

Parametro Valore
\(C_{R,0}\) 0,025
\(\lambda\) 10
\(e\) 0,85
\(\pi \lambda e\) \(\pi \cdot 10 \cdot 0{,}85 = 26{,}70\)

🧠 Strategia di risoluzione

  1. Cosa mi sta chiedendo? Tabulare \(C_R\), trovare punti notevoli, disegnare polare.
  2. Quale fenomeno? L'equazione della polare \(C_R = C_{R,0} + C_p^2/(\pi \lambda e)\) è il modello base.
  3. Quali formule?
  4. \(C_R = C_{R,0} + \dfrac{C_p^2}{\pi \lambda e}\)
  5. \(C_p^* = \sqrt{\pi \lambda e \cdot C_{R,0}}\)

  6. \(E_{max} = \frac{1}{2}\sqrt{\pi \lambda e / C_{R,0}}\)

  7. Dati e unità coerenti? Sì, tutto adimensionale.

  8. Algebra: 10 sostituzioni nella formula della polare. Ordine: prima costruire la tabella, poi punti notevoli.

✏️ Risoluzione passo-passo

Passo 1 — Funzione polare esplicita

\[C_R(C_p) = 0{,}025 + \dfrac{C_p^2}{26{,}70}\]

Passo 2 — Tabulazione

\(C_p\) \(C_p^2\) \(C_p^2/26{,}70\) \(C_R\) \(E = C_p/C_R\)
0,1 0,01 0,00037 0,02537 3,94
0,2 0,04 0,00150 0,02650 7,55
0,3 0,09 0,00337 0,02837 10,57
0,4 0,16 0,00599 0,03099 12,91
0,5 0,25 0,00936 0,03436 14,55 ← crociera
0,6 0,36 0,01348 0,03848 15,59
0,82 0,67 0,02500 0,05000 16,33 ← \(E_{max}\)
1,0 1,00 0,03745 0,06245 16,01
1,2 1,44 0,05393 0,07893 15,20
1,4 1,96 0,07341 0,09841 14,23 ← stallo

💡 Lettura della tabella: \(E\) cresce, raggiunge il massimo intorno a \(C_p = 0{,}82\), poi cala lentamente. Lo stallo arriva a \(C_p = 1{,}4\) con \(E = 14{,}2\) — paradossalmente buono, ma a velocità troppo bassa.

Passo 3 — Analisi: \(C_p^*\) ed \(E_{max}\)

\[C_p^* = \sqrt{26{,}70 \times 0{,}025} = \sqrt{0{,}6675} = 0{,}817\]
\[E_{max} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{26{,}70}{0{,}025}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{1\,068} = \dfrac{32{,}68}{2} = 16{,}34\]

Verifica: nella tabella, a \(C_p = 0{,}82\), calcolato \(E = 16{,}33\). ✅ Coincide al millesimo. Le formule e la tabulazione sono coerenti.

A \(C_p^*\): \(\(C_R^* = 0{,}025 + \dfrac{0{,}817^2}{26{,}70} = 0{,}025 + 0{,}0250 = 0{,}050\)\)

→ A massima efficienza, parassita = indotta (entrambe valgono \(C_{R,0}\)). Confermato.

Passo 4 — Confronto con la crociera reale

Condizione \(C_p\) \(C_R\) \(E\) Posizione
Crociera 737 0,50 0,034 14,55 Sotto \(C_p^*\)
Massima efficienza 0,82 0,050 16,34 Punto ottimo
Stallo 1,40 0,098 14,23 Limite superiore

Domanda chiave: perché il 737 vola in crociera con \(C_p = 0{,}5\) e non \(C_p = 0{,}82\)?

Risposta:

  • A \(C_p = 0{,}82\): velocità lenta, autonomia ottima MA tempo di volo lunghissimo → costoso in personale, parcheggi gate, comfort passeggeri
  • A \(C_p = 0{,}5\): velocità di crociera 230 m/s (Mach 0,78), efficienza 89% del massimo — sacrificio del 11% di efficienza, velocità raddoppiata

In autonomia massima (es. ferry flight per riposizionare aerei), si vola a \(C_p^*\). In operazioni commerciali standard, si compromette per la velocità.

Passo 5 — La polare disegnata

Riportando i 10 punti calcolati nella tabella, otteniamo la polare del nostro Boeing 737. È la stessa figura mostrata nell'introduzione, ora "letta" punto per punto:

Polare del Boeing 737-800 con i 10 punti tabulati

Cosa vedere nel grafico:

  • I 10 cerchi azzurri sono i punti della tabella sopra (a \(C_p\) crescenti da 0,1 a 1,4)
  • L'asintoto verticale sinistro è il valore di parassita \(C_{R,0} = 0{,}025\) — la polare non scende mai sotto questa soglia, perché c'è sempre un minimo di resistenza
  • La retta tratteggiata rossa (tangente all'origine) tocca la polare nel punto di max efficienza (\(C_p^* = 0{,}82\))
  • La stella arancione è il punto operativo reale di crociera (\(C_p = 0{,}5\), \(E = 14{,}55\))

💡 Lettura grafica: la polare sembra una "L corica" o "fluctuazione", aperta a destra. La parte sinistra (basso \(C_R\), basso \(C_p\)) è il regime di alta velocità. La parte alta (\(C_p > 0{,}82\)) è il regime di alta portanza, prossimo allo stallo.

✅ Verifica di plausibilità

  • \(E_{max} = 16{,}34\): il manuale del 737-800 dichiara 17-19 in condizioni ideali. Sottostima di ~10%, coerente.
  • \(C_p^* = 0{,}82\): nei manuali Boeing si trova "best L/D speed" attorno a 220 kt a peso medio, che corrisponde a \(C_p \approx 0{,}80\). ✅
  • A \(C_p^*\): parassita = indotta = \(C_{R,0}\). Verificato numericamente.

Implicazione operativa: in caso di avaria motore, il pilota deve immediatamente rallentare dal regime di crociera (230 m/s) verso \(V^*\) (~190 m/s). \(V^*\) corrisponde a \(C_p^*\) → massima distanza percorribile.

🔄 Variante per autovalutazione

Calcola velocità di max efficienza \(V^*\) del 737 al peso 65 000 kg, in crociera FL350 (10 670 m, \(\rho \approx 0{,}38\) kg/m³).

👉 Solo il risultato (prima provaci da solo!)

\(W = 65000 \times 9{,}81 = 637\,650\) N \(V^* = \sqrt{2W/(\rho S C_p^*)} = \sqrt{2 \cdot 637650 / (0{,}38 \cdot 124{,}6 \cdot 0{,}817)} = \sqrt{32\,937} \approx 181{,}5\) m/s = 352,8 kt.

Confronto: in crociera a Mach 0,78 = ~230 m/s = 447 kt.

→ In emergenza ad alta quota, il pilota dovrebbe rallentare da 447 kt a 353 kt (ancora veloce!). Il rapporto \(V_{cruise}/V^* = 1{,}27\). Il jet di linea vola più veloce di \(V^*\) del 27%, sacrificando 11% di efficienza per arrivare prima.

🎓 Cosa hai imparato

  • La polare \(C_R = C_{R,0} + C_p^2/(\pi \lambda e)\) è la formula chiave: descrive aerodinamica del velivolo in un solo grafico.
  • I punti notevoli della polare sono:
  • Origine (0,0) — non fisico
  • \(C_{R,0}\) asintotico — bassa portanza, alta velocità
  • \(C_p^*\), \(E_{max}\) — punto ottimo

  • \(C_{p,max}\) — limite di stallo

  • A massima efficienza, parassita e indotta sono uguali. Verifica gratis.

  • La crociera commerciale è \(C_p < C_p^*\): si vola sotto l'ottimo per essere veloci.
  • I numeri dei manuali Boeing/Airbus si possono ricostruire entro il 10% con il modello del liceo. Non è solo teoria.

🎓 Hai finito gli esercizi!

I 10 esercizi del programma sono completi. Ora il modo migliore di consolidare è fare i quiz — un'altra modalità di verifica, complementare agli esercizi.

💡 Consiglio finale: rileggi la prima riga di ogni esercizio (la "🎯 Difficoltà"). Se ricordi al volo cosa devi calcolare e perché, hai capito. Altrimenti, rifai l'esercizio dopo qualche giorno — la ripetizione spaziata è la chiave per fissare.