Esercizio 5 — Portanza in quota ISA (Boeing 737-800)¶
🟡 Difficoltà: MEDIO — Applicazione della formula di portanza in quota usando la tabella ISA.
🎯 Obiettivi didattici: imparare a (a) usare la tabella ISA per ricavare \(\rho\), (b) calcolare \(C_p\) a quote diverse, (c) confrontare il comportamento di un velivolo a livello mare e in crociera ad alta quota.
📋 Testo del problema¶
Un Boeing 737-800 è in crociera livellata a FL350 (Flight Level 350 = 10 670 m). Massa di crociera \(m = 70\,000\) kg, velocità vera (TAS) \(V = 230\) m/s.
- Superficie alare: \(S = 124{,}6\) m²
- Allungamento: \(\lambda = 10\)
- Quota: \(h = 10\,670\) m, atmosfera ISA
Determina:
- La densità \(\rho\) alla quota di volo (interpolando dalla tabella ISA)
- Il coefficiente di portanza \(C_p\) richiesto in crociera
- Confronto: se lo stesso velivolo volasse al livello mare a 230 m/s, quale \(C_p\) servirebbe? Cosa significa fisicamente?
🖼️ Diagramma del problema¶
In quota l'aria è rarefatta. La portanza richiesta è la stessa (uguale al peso), ma con \(\rho\) ridotta serve compensare in una delle altre variabili: \(V\), \(S\) o \(C_p\).
| Quota | \(\rho\) (kg/m³) | Conseguenza |
|---|---|---|
| Livello mare | 1,225 | Riferimento |
| FL350 (10 670 m) | ~0,38 | Densità ~31% del mare |
→ A parità di \(V\) e \(S\), in quota serve \(C_p\) maggiore (~3 volte). In pratica il pilota gestisce questo aumentando l'angolo di attacco.
📊 Dati noti / da trovare¶
| Grandezza | Simbolo | Valore | Unità |
|---|---|---|---|
| Massa | \(m\) | 70 000 | kg |
| Superficie alare | \(S\) | 124,6 | m² |
| Velocità (TAS) | \(V\) | 230 | m/s |
| Quota | \(h\) | 10 670 | m |
| Allungamento | \(\lambda\) | 10 | — |
| Da trovare | \(\rho(h)\), \(C_p\) | ? | — |
🧠 Strategia di risoluzione¶
- Cosa mi sta chiedendo? \(\rho\) in quota, \(C_p\) in quota e \(C_p\) al mare per confronto.
- Quale fenomeno? Equilibrio in volo livellato \(P = Q\), ma con \(\rho\) ridotta.
- Quali formule?
- Tabella ISA per \(\rho\) (interpolazione lineare tra 10000 e 11000 m)
-
\(C_p = 2W/(\rho V^2 S)\)
-
Dati e unità coerenti? Sì, tutto SI.
- Algebra: applicare la stessa formula a due densità diverse, confrontare.
✏️ Risoluzione passo-passo¶
Passo 1 — Densità a 10 670 m (interpolazione)¶
Dalla tabella ISA del formulario:
| Quota (m) | \(\rho\) (kg/m³) |
|---|---|
| 10 000 | 0,413 |
| 11 000 | 0,365 |
Differenza di densità per 1000 m: \(0{,}413 - 0{,}365 = 0{,}048\) kg/m³. Per ogni metro: \(0{,}048/1000 = 4{,}8 \cdot 10^{-5}\) kg/m³ persi.
A 10 670 m, salgo di 670 m sopra i 10 000: \(\(\rho(10\,670) \approx 0{,}413 - 670 \times 4{,}8 \cdot 10^{-5} = 0{,}413 - 0{,}032 = 0{,}381 \text{ kg/m³}\)\)
Passo 2 — Peso¶
Passo 3 — \(C_p\) in crociera FL350¶
Sostituisco: \(\(C_p = \dfrac{2 \times 686\,700}{0{,}381 \times 230^2 \times 124{,}6}\)\)
Calcolo a tappe:
- Numeratore: \(2 \times 686\,700 = 1\,373\,400\)
- \(230^2 = 52\,900\)
- \(0{,}381 \times 52\,900 = 20\,155\)
- Denominatore: \(20\,155 \times 124{,}6 = 2\,511\,313\)
- Rapporto: \(1\,373\,400 / 2\,511\,313 = 0{,}547\)
Passo 4 — Confronto: \(C_p\) al livello mare a stessa V¶
Stesso peso, stessa \(S\), stessa \(V\), ma \(\rho_0 = 1{,}225\):
Calcolo:
- \(1{,}225 \times 52\,900 = 64\,803\)
- \(64\,803 \times 124{,}6 = 8\,074\,447\)
- \(1\,373\,400 / 8\,074\,447 = 0{,}170\)
Passo 5 — Lettura del confronto¶
| Quota | \(\rho\) (kg/m³) | \(C_p\) richiesto |
|---|---|---|
| Livello mare | 1,225 | 0,17 |
| FL350 (10 670 m) | 0,381 | 0,55 |
Rapporto \(C_p^{quota}/C_p^{mare} = 0{,}55/0{,}17 = 3{,}24 \approx \rho_0/\rho = 1{,}225/0{,}381 = 3{,}21\) ✓
→ A parità di V e di geometria, \(C_p \propto 1/\rho\). Sopra di 10 km il velivolo lavora con un \(C_p\) 3 volte maggiore che al livello mare.
💡 Significato fisico: l'aria è "rarefatta" → ogni m² di ala riceve meno massa d'aria al secondo → per generare la stessa portanza, l'ala deve "lavorare di più" (angolo di attacco maggiore, ovvero \(C_p\) maggiore). Il pilota lo gestisce automaticamente con il pitch del velivolo.
✅ Verifica di plausibilità¶
- "Crociera, jet di linea" → \(C_p \in [0{,}4;\, 0{,}6]\).
Il nostro \(C_p = 0{,}55\) rientra perfettamente. ✅
Il \(C_p = 0{,}17\) al livello mare (con la stessa V) sarebbe bassissimo per un 737 — significherebbe che l'aereo sta volando "troppo veloce per il suo peso" e potrebbe addirittura scendere senza voler ridurre quota. In realtà al livello mare il 737 vola a velocità minori per restare in \(C_p\) ragionevole.
🔄 Variante per autovalutazione¶
Stesso 737 in crociera FL350, ma a peso più basso (50 000 kg, fine volo dopo aver consumato carburante). Ricalcola \(C_p\).
👉 Solo il risultato (prima provaci da solo!)
\(W = 50000 \times 9{,}81 = 490\,500\) N
\(C_p = 2 \cdot 490500 / (0{,}381 \cdot 230^2 \cdot 124{,}6) = 981000 / 2511313 \approx 0{,}391\)
→ Con peso ridotto del 28,6%, anche \(C_p\) scende del 28,6% (è proporzionale a \(W\)). Coerente.
Implicazione operativa: a fine volo (quando l'aereo è leggero), il pilota può:
- Salire di quota (FL370, FL390): la \(\rho\) scende ma il \(C_p\) richiesto è già basso
- Risparmiare carburante grazie a parassita ridotta
Si chiama "step climb" — il jet sale gradualmente man mano che brucia carburante.
🎓 Cosa hai imparato¶
- Tabella ISA è imprescindibile: per qualsiasi calcolo in quota, \(\rho \neq \rho_0\).
- A parità di V e geometria, \(C_p \propto 1/\rho\): in alta quota il velivolo lavora con \(C_p\) molto maggiore.
- Il jet di linea vola alto perché: la parassita (proporzionale a \(\rho\)) scende → meno consumo carburante. Anche se l'indotta è maggiore (alti \(C_p\)), il bilancio è positivo per voli lunghi.
- Lo "step climb" sfrutta il calo di peso per salire progressivamente — un pilota commerciale lo richiede al controllo del traffico aereo a metà rotta.
➡️ Prossimo¶
Esercizio 6 — Confronto profili NACA (Cessna 172 vs caccia) — l'effetto della scelta del profilo a parità di altre condizioni.