Esercizio 4 — Efficienza massima e planata (aliante ASK-21)¶

🟡 Difficoltà: MEDIO — Combina formule di portanza, resistenza ed efficienza per ottenere il punto operativo ottimo dell'aliante.

🎯 Obiettivi didattici: imparare a (a) calcolare $E_{max}$ usando la formula del libro, (b) trovare $V^*$ e $C_p^*$, (c) calcolare distanza in planata da una quota data.

📋 Testo del problema¶

Un aliante ASK-21 sta planando in atmosfera ISA al livello del mare. Dati:

Massa con due persone a bordo: $m = 600$ kg
Superficie alare: $S = 17{,}95$ m²
Allungamento alare: $\lambda = 16{,}6$
Resistenza parassita: $C_{R,0} = 0{,}014$
Fattore di Oswald: $e = 0{,}95$

L'aliante si trova a 2 000 m sopra il punto di atterraggio, in aria calma.

Determina:

Il coefficiente di portanza ottimale $C_p^*$ (per $E_{max}$)
L'efficienza massima $E_{max}$
La velocità di max efficienza $V^*$ (in m/s e in nodi)
La distanza orizzontale percorribile in planata fino al suolo

🖼️ Diagramma del problema¶

Aliante in planata stabilizzata: distanza al suolo = E × quota persa

In planata stabilizzata, la traiettoria forma un angolo $\gamma$ con l'orizzontale, dove $\tan(\gamma) = 1/E$. Più $E$ è grande, più $\gamma$ è piccolo, e più lontano si arriva. La formula chiave: distanza orizzontale = $E \times$ quota persa.

📊 Dati noti / da trovare¶

Grandezza	Simbolo	Valore	Unità
Massa	$m$	600	kg
Superficie alare	$S$	17,95	m²
Allungamento alare	$\lambda$	16,6	adim.
Resistenza parassita	$C_{R,0}$	0,014	adim.
Fattore Oswald	$e$	0,95	adim.
Densità (livello mare ISA)	$\rho$	1,225	kg/m³
Quota iniziale	$h$	2 000	m
Da trovare	$C_p^$, $E_{max}$, $V^$, distanza	?	—

🧠 Strategia di risoluzione¶

Cosa mi sta chiedendo? Punto di max efficienza e distanza di planata.
Quale fenomeno è coinvolto? Equilibrio in planata + ricerca dell'ottimo aerodinamico.
Quali formule mi servono?
$C_p^* = \sqrt{\pi \lambda e \cdot C_{R,0}}$ (massima efficienza)
$E_{max} = \frac{1}{2}\sqrt{\pi \lambda e / C_{R,0}}$
$V^* = \sqrt{\dfrac{2Q}{\rho S C_p^*}}$
Distanza = $E_{max} \times $ quota persa
Dati e unità sono coerenti? Sì, tutto SI.
Algebra: applicare la formula a tappe; il risultato di una entra nella successiva.

✏️ Risoluzione passo-passo¶

Passo 1 — Peso¶

\[Q = m \cdot g = 600 \times 9{,}81 = 5\,886 \text{ N}\]

Passo 2 — Coefficiente $C_p^*$ ottimo¶

\[C_p^* = \sqrt{\pi \lambda e \cdot C_{R,0}}\]

Sostituisco: $\(C_p^* = \sqrt{\pi \times 16{,}6 \times 0{,}95 \times 0{,}014} = \sqrt{0{,}694} \approx 0{,}833$\)

\[\boxed{C_p^* \approx 0{,}83}\]

Passo 3 — Efficienza massima $E_{max}$¶

\[E_{max} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi \lambda e}{C_{R,0}}}\]

Sostituisco:

Numeratore (sotto radice): $\pi \times 16{,}6 \times 0{,}95 = 49{,}57$
Denominatore: $0{,}014$
Rapporto: $49{,}57/0{,}014 = 3\,541$
Radice: $\sqrt{3\,541} = 59{,}5$
$E_{max} = 59{,}5/2 = 29{,}75$

\[\boxed{E_{max} \approx 29{,}8}\]

✅ Plausibilità: il manuale dell'ASK-21 dichiara $E_{max} \approx 33$. Il modello sottostima leggermente (errore ~10%) perché ignora effetti viscosi reali di alta efficienza.

Passo 4 — Velocità di max efficienza $V^*$¶

\[V^* = \sqrt{\dfrac{2Q}{\rho S C_p^*}}\]

Sostituisco:

Numeratore: $2 \times 5\,886 = 11\,772$
Denominatore: $1{,}225 \times 17{,}95 \times 0{,}833 = 18{,}31$
Rapporto: $11\,772/18{,}31 = 643{,}0$
Radice: $\sqrt{643} = 25{,}36$ m/s

\[V^* = 25{,}36 \text{ m/s} = \dfrac{25{,}36}{0{,}5144} \approx 49{,}3 \text{ kt}\]

\[\boxed{V^* \approx 25{,}4 \text{ m/s} = 49 \text{ kt}}\]

✅ Plausibilità: il manuale dell'ASK-21 dichiara $V_{best\,glide} \approx 90$ km/h ≈ 48,6 kt. Il calcolo coincide al 1% — eccellente.

Passo 5 — Distanza di planata¶

Con $E_{max} \approx 29{,}8$ e quota $h = 2\,000$ m:

\[\text{distanza} = E_{max} \times h = 29{,}8 \times 2\,000 = 59\,600 \text{ m}\]

\[\boxed{\text{distanza} \approx 60 \text{ km}}\]

✅ Verifica di plausibilità¶

Angolo di planata corrispondente: $\(\tan(\gamma) = 1/E = 1/29{,}8 \approx 0{,}0336$\)

\[\gamma \approx 1{,}92°\]

→ angolo molto piccolo (meno di 2°). Coerente con un aliante in planata: cala dolcemente, quasi "scivola" verso terra.

Sanity check del numero: 60 km di planata da 2 km di quota. Sì, un aliante moderno può fare questo. È esattamente il principio dei voli a vela: scalando termiche per riguadagnare quota, si possono fare migliaia di km in giornata.

🔄 Variante per autovalutazione¶

Stesso ASK-21 ma ora pesa 520 kg (un solo pilota, niente passeggero). Calcola di nuovo $V^*$ e la distanza di planata da 2000 m.

👉 Solo il risultato (prima provaci da solo!)

$W = 520 \times 9{,}81 = 5\,101$ N
$C_p^*$ resta lo stesso (dipende solo dalla geometria) = 0,83
$E_{max}$ resta lo stesso = 29,8 (sempre solo geometria!)
$V^* = \sqrt{2 \cdot 5101 / (1{,}225 \cdot 17{,}95 \cdot 0{,}833)} = \sqrt{557{,}3} \approx$ 23,6 m/s = 45,9 kt
Distanza = stessa, $29{,}8 \times 2000 \approx 60$ km

Lezione importante: $E_{max}$ e la distanza di planata NON dipendono dal peso! Più leggero, voli più lento (V* più basso), ma percorri la stessa distanza. È contro-intuitivo ma è così. La formula $\text{dist} = E \cdot h$ è puramente geometrica.

🎓 Cosa hai imparato¶

$E_{max}$ e $C_p^*$ dipendono solo dalla geometria (allungamento, parassita, Oswald), non dal peso.
La velocità ottima $V^*$ dipende dal peso ($V^* \propto \sqrt{W}$): più leggero, più lento al massimo della efficienza.
Distanza di planata = $E \times $ quota, non dipende dal peso. È una formula da tenere a mente per situazioni reali (avaria motore).
Il modello del liceo (formula $E_{max}$) sottostima del 10% rispetto al valore reale del manuale, ma cattura tutti i parametri di progetto che contano.

➡️ Prossimo¶

Esercizio 5 — Portanza in quota ISA (Boeing 737) — applica la portanza in alta quota usando la tabella ISA.