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Esercizio 3 — Resistenza in crociera (ATR 72-600)

🟢 Difficoltà: BASE — Applicazione della formula della resistenza con decomposizione parassita+indotta.

🎯 Obiettivi didattici: imparare a (a) calcolare \(C_p\) in crociera in quota, (b) decomporre \(C_R\) in parassita e indotta, (c) ottenere la spinta richiesta dal motore.

📋 Testo del problema

Un ATR 72-600 (turboelica regionale) è in crociera livellata a 7 000 m di quota in atmosfera standard ISA. Velocità di crociera vera (TAS) 140 m/s (~272 kt). Dati:

  • Massa di crociera: \(m = 22\,000\) kg
  • Superficie alare: \(S = 61\) m²
  • Allungamento alare: \(\lambda = 12\)
  • Coefficiente di resistenza parassita: \(C_{R,0} = 0{,}025\)
  • Fattore di Oswald: \(e = 0{,}85\)

Determina:

  1. Il coefficiente di portanza \(C_p\) richiesto
  2. Il coefficiente di resistenza indotta \(C_{R,i}\)
  3. La resistenza totale \(D\) in newton
  4. La spinta totale richiesta ai motori (per i due motori PW127M sommati)

🖼️ Diagramma del problema

Sistema delle 4 forze sul velivolo in volo livellato

Crociera livellata: \(P = Q\) (verticale) e \(T = R\) (orizzontale). La resistenza si decompone in parassita \(C_{R,0}\) (costante, dovuta a forma + attrito + interferenza) + indotta \(C_{R,i} = C_p^2/(\pi \lambda e)\) (cresce col quadrato della portanza).

📊 Dati noti / da trovare

Grandezza Simbolo Valore Unità
Massa \(m\) 22 000 kg
Superficie alare \(S\) 61 m²
Allungamento alare \(\lambda\) 12 adim.
Resistenza parassita \(C_{R,0}\) 0,025 adim.
Fattore di Oswald \(e\) 0,85 adim.
Velocità (TAS) \(V\) 140 m/s
Quota \(h\) 7 000 m
Densità aria a 7000 m (ISA) \(\rho\) 0,590 kg/m³
Da trovare \(C_p\), \(C_{R,i}\), \(D\), \(T\) ? —

💡 La densità a 7000 m si interpola dalla tabella ISA del formulario: tra 5000 m (ρ=0,736) e 8000 m (ρ=0,526), a 7000 m è circa 0,590 kg/m³.

🧠 Strategia di risoluzione

  1. Cosa mi sta chiedendo? \(C_p\), \(C_{R,i}\), \(D\), \(T\) in crociera.
  2. Quale fenomeno è coinvolto? Equilibrio in volo livellato: \(P = Q\) e \(T = R\).
  3. Quali formule mi servono?
  4. \(Q = m \cdot g\)
  5. \(P = \frac{1}{2}\rho V^2 S C_p\) → da cui \(C_p = 2W/(\rho V^2 S)\)
  6. \(C_{R,i} = C_p^2/(\pi \lambda e)\)
  7. \(C_R = C_{R,0} + C_{R,i}\)

  8. \(R = \frac{1}{2}\rho V^2 S C_R\)

  9. Dati e unità sono coerenti? Sì, tutti SI. Velocità già in m/s. Densità in quota da tabella.

  10. Algebra: catena di sostituzioni. Calcolo intermedio: la pressione dinamica \(q = \frac{1}{2}\rho V^2\) — utile da calcolare una volta sola.

✏️ Risoluzione passo-passo

Passo 1 — Peso e pressione dinamica

\[Q = m \cdot g = 22\,000 \times 9{,}81 = 215\,820 \text{ N}\]
\[q = \dfrac{1}{2}\rho V^2 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}590 \times 140^2 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}590 \times 19\,600 = 5\,782 \text{ Pa}\]

Passo 2 — Coefficiente di portanza

\[C_p = \dfrac{W}{q \cdot S} = \dfrac{215\,820}{5\,782 \times 61} = \dfrac{215\,820}{352\,702} \approx 0{,}612\]
\[\boxed{C_p \approx 0{,}61}\]

✅ Plausibilità: nel formulario, "regionale/jet in crociera" → \(C_p \in [0{,}4;\, 0{,}6]\). 0,61 è leggermente sopra, ma coerente per turboelica che vola a velocità inferiore al jet.

Passo 3 — Coefficiente di resistenza indotta

\[C_{R,i} = \dfrac{C_p^2}{\pi \lambda e} = \dfrac{0{,}612^2}{\pi \times 12 \times 0{,}85} = \dfrac{0{,}3745}{32{,}04} \approx 0{,}01169\]
\[\boxed{C_{R,i} \approx 0{,}012}\]

Passo 4 — Coefficiente di resistenza totale

\[C_R = C_{R,0} + C_{R,i} = 0{,}025 + 0{,}012 = 0{,}037\]

💡 In crociera, parassita pesa il 68% (\(0{,}025/0{,}037\)), indotta il 32%. Tipico per turboelica che vola a velocità moderate (più indotta che jet veloci).

Passo 5 — Resistenza in newton

\[R = q \cdot S \cdot C_R = 5\,782 \times 61 \times 0{,}037\]

Calcolo:

  • \(5\,782 \times 61 = 352\,702\)
  • \(352\,702 \times 0{,}037 = 13\,050{,}0\)
\[\boxed{D \approx 13\,050 \text{ N}}\]

Passo 6 — Spinta richiesta totale

In crociera livellata \(T = R\): \(\(T = D = 13\,050 \text{ N}\)\)

I due motori Pratt & Whitney PW127M devono erogare in totale ~13,05 kN di spinta in crociera. Ciascun motore: ~6,5 kN.

✅ Confronto realtà: PW127M ha potenza di 2 050 kW. In crociera a 140 m/s la spinta = potenza/velocità = \(2050000/140 = 14\,640\) N per due motori. Coerente entro il 12% (la differenza viene dall'efficienza dell'elica, ~80%, e da approssimazioni del modello).

✅ Verifica di plausibilità

Efficienza del velivolo nelle condizioni date: \(\(E = \dfrac{C_p}{C_R} = \dfrac{0{,}612}{0{,}037} \approx 16{,}5\)\)

Distanza in planata da 7000 m (Lezione 4): \(E \times 7000 = 16{,}5 \times 7\,000 = 115\,500\) m ≈ 115 km.

Coerente: l'ATR ha autonomia di volo a vela ottima, paragonabile ai jet di linea. Se entrambi i motori si fermano a 7000 m, può raggiungere un aeroporto fino a 115 km di distanza.

🔄 Variante per autovalutazione

Stesso ATR 72, stesso peso e quota, ma in discesa con motori al minimo a 110 m/s (~213 kt). Calcola \(C_p\) e \(C_{R,i}\) in queste nuove condizioni.

👉 Solo il risultato (prima provaci da solo!)

A 110 m/s:

  • \(q = \frac{1}{2} \cdot 0{,}590 \cdot 110^2 = 3\,570\) Pa
  • \(C_p = 215\,820 / (3\,570 \cdot 61) = 215\,820 / 217\,770 \approx 0{,}991\)
  • \(C_{R,i} = 0{,}991^2 / (32{,}04) = 0{,}0306\)

→ \(C_p \approx 1{,}0\) (alto, vicino a stallo "sicuro") e \(C_{R,i} \approx 0{,}031\) (raddoppia rispetto alla crociera!).

Lettura: a velocità più basse, l'aereo lavora con \(C_p\) alti → la resistenza indotta esplode. Questo è il motivo per cui i piloti scendono aumentando la velocità (no, non si "tira il muso giù lentamente"): vanno più veloci, \(C_p\) scende, l'aereo "cade" controllatamente.

🎓 Cosa hai imparato

  • Decomporre \(C_R\) in parassita + indotta è il primo passo per ogni esercizio di resistenza.
  • In crociera ad alta velocità, parassita domina; a bassa velocità, indotta domina.
  • L'efficienza E del velivolo si trova quasi gratuitamente: \(E = C_p/C_R\). È utile per stimare distanze di planata.
  • La densità in quota (qui 0,59 kg/m³ a 7000 m) entra in TUTTE le formule — mai \(\rho_0\) in quota.
  • I conti tornano con la realtà: la spinta calcolata coincide entro il 10-15% con i dati ufficiali del motore.

➡️ Prossimo

Esercizio 4 — Efficienza massima (aliante ASK-21) — passa al regime degli alianti, dove l'indotta è il problema principale.